通过杠杆效应 数据 波动与随机性:1. 杠杆效应(Statistical Leverage)

2018-01-14 - 杠杆效应

 杠杆效应(Statistical Leverage)      从数据中获得人类可以理解的模型,是很多互联网从业人员关心的问题。其中一个核心问题是,数据的扰动,或者某些特殊数据会对获得的模型产生多大的影响?先来看一个例子,木材的重量与湿度有关,给定数据集,可以通过统计拟合精确地刻画二者之间的关系,如下图所示: 图中每个点代表一个样本,总共有10个样本,拟合获得的直线的走向取决于样本的空间分布。

通过杠杆效应

直观地说,远离最后获得模型的点有很大的影响,比如样本4和样本1。上述模型是通过最小二乘拟合获得的,把自变量,因变量,模型参数分别记为A,b,x,则三者关系如下: 通过最小二乘获得对因变量的预测,如下: 其中: 这个矩阵是线性拟合的核心。

一个矩阵可以用它的列空间来描述,把A的列空间对应的正交基记为U,则有如下关系成立: 因此有: 这就叫做变量i的Statistical Leverage,或称杠杆效应,奇异值(又称野值,Outilier)对模型的影响就是通过这个值体现的,对于本文开头的数据,各个样本对应的杠杆值如下图所示: 可以看到,离拟合直线越远的点(如样本4和样本1)对应的杠杆值越高,在传统的统计学中该值是Outlier判定的最重要的指标。

杠杆效应在数据分析中普遍存在,有时会以极其不同的形式出现,下图是一个空手道俱乐部的社交网络图: 把节点数和边数分别记为n和m,权值构成的对角矩阵记为W,边-节点矩阵(edge-incidence matrix)记为B,则可以用如下指标来衡量某条边的重要程度: 其中: 变形后有: 注意,杠杆再次出现。

在上面的社交网络图中,红色代表杠杆值大的边,黄色代表杠杆值小的边,杠杆值越大,越偏红色。可以看到,杠杆值的大小与边的重要性有密切关系。 在邮件分析中,杠杆效应不明显,杠杆值的累积分布如下图所示: 基因分析中,杠杆效应非常明显,如下:

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