四维空间是什么样的?教你构造四维空间中的超正方体

2020-05-05 - 四维空间

超立方体,又被称为正八胞体,立方体柱,4-4边形柱,是一个四维空间里的几何产物。

四维方体不易想象,但可以投射至3维或2维空间。在2维平面的投射,把顶点位置调整后,可以了解更多。如此获得的图像,不再反映四维方体空间构造,而是反映顶点间的联系。

四维空间是什么样的

我们看到的三维物体是经过一次投影之后呈现在视网膜上,但四维立方体不能通过普通投影的方式让人们看见,只能先投影成三维的物体,再经过一次投影才能呈现在视网膜上。

对于生活在三维空间的人类来说,四维世界是很神秘的概念。正像生活在二维世界里的小人(如果存在的话)很难想象三维世界一样,我们同样难于想象四维世界。不过也正像我们可以通过研究三维物体在二维物体上的投影来研究想象三维物体一样,我们也可以通过四维物体在三维世界中的立体图形投影来研究四维世界。

四维空间是什么样的

上图所示的是一个立方体在二维世界中的投影(事实上投影应当是普通的正方形,图为二维生物可能的想象图)。二维小人多多少少可以通过这些投影来想象那个“三 维立方体”的神秘图形。他们可以数出这个立方体有8个顶点,12条边,6个面。可以看到图1的样子像是一个大正方形套一个小正形,那我们用一点类比的思维,把一个大立方体“套住”一个小立方体,这就得到一个超正方体的一种三维投影。

四维空间是什么样的

在二维世界里(不考虑时间轴)要把不透明图形简化的只有顶点(二维物体中的零维框架)之后二维(如果存在)小人才能看得到内部,在我们在三维世界里要简化到棱长(三维物体中的一维框架)才能看到物体内部。所以二维小人(如果存在)研究三维立方体只会先把三维立方体的顶点投影在二维平面上,在投影成一条一位的直线。立方体的六个面也要把最外部的正方形也要算进去,超正方体表面的八个立方体也包括“最外部”的那一个。

可以知道,超正方体有8个胞(立方体)、24个面(正方形)、32条棱和16个顶点

思维方式

超正方体

如果四维超正方体不太好想象的话,我们换成球试试吧。三维球嘛,无论从哪个方向投影在二维平面上都只是一个半径等同的圆形,这样我们就很容易想到四维球在三维世界中的投影只不过是一个半径等同的球了。如果还想要讨论得深入一些,不妨试试球穿越问题。

比如说一个球穿过一个二维平面,二维小人会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点,后来眼看着扩张成圆,又慢慢缩小成点,最后突然消失。如果这个令二维小人惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪,那么以下的情形你定会吃惊不小;在你面前无中生有地出现一个点,扩成球又缩回点,再突然消失。多么神奇!其 实这只不过是四维球穿越三维世界的情形。

这里讲一种思维方式,当你不能够理解四维的某些描述的时候,试着把自己当作二维人生活在扁平的世界里看三维(你能够理解,但是你的描述是受限的)。

简单描述:1、超立方体无2维距离、角度概念。

2、超立方体中任何一顶点以恒定速度到相邻顶点所用时间相等。(所有边长相等)

大家一定知道把立方体的六个面展开的样子吧,其中一种展开法如下图。

类比一下,即可得到超正方体的其中一种展开法,如下图,其中一个立方体被藏在三维展开图里边了。

看上去很奇怪是吧,这八个立方体在我们的世界里无论怎么翻转也不能组成一个超正方体的,它们必须在四维空间里旋转——这个比方就好比二维小人不会明白那六个正方形怎么转才能拼成一个立方体一样的道理。

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